A hallgatók felkészítése a vizsgát, és OGE (DPA), a képzési központ felbontású (kézikönyv a matematika -

A létezése beírható kör háromszög

1. meghatározása a szögfelező nevezzük egy fénysugár, amely elválasztja a szög két egyenlő részre.

1. Tétel (Fő tulajdonság felezővonal). Minden pont a felezővonal a szög azonos távolságra az oldalán a szög (1. ábra).

Bizonyítás. D. Tekintsünk egy tetszőleges pont feküdt a felezővonal a BAC szög. és dobja a D pont DE és DF merőlegeseket az oldalán, a szög (1. ábra). Derékszögű háromszög ADE és az ADF egyenlő. mert éles sarkok DAF és DAE. és átfogója AD - összesen. ezért

QED.

2. Tétel (reverz Tétel Tétel 1). Ha egy pont található azonos távolságra oldalán a szöget. Úgy fekszik a felezővonal a szög (2. ábra).

Bizonyítás. Tekintsünk egy tetszőleges pont D. belül fekvő a BAC szög és elhelyezni ugyanolyan távolságra az oldalán a szög. Csökkenés a D pont DE és DF merőlegeseket hogy az oldalán, a szög (2. ábra). Derékszögű háromszög ADE és az ADF egyenlő. mert a lábát a DF és DE. és átfogója AD - összesen. ezért

QED.

2. meghatározása kör a kör kerületi szög. ha ez érinti az oldalán a szöget.

3. tétel Ha a kör van írva szögben, a távolság a vertex érintési pontok egy körön szögben egyenlő oldalú.

Bizonyítás. Hagyja, hogy a D pont - a kör közepén írt a BAC szög. és E és F pontokat - érintési pontján kör szög oldalán (3. ábra).

QED.

Megjegyzés. 3. Tétel is formulázhatjuk más módon: szegmenseiben érintők. sor, hogy a kerületén egy pont, egyenlő.

3. meghatározása a háromszög felezővonal nevezzük egy szegmens, amely része a szögfelező a háromszög, és a háromszög csatlakozik a vertex, hogy egy pont a szemközti oldalon.

4. Tétel Bármely háromszögben mindhárom felezővonal metszi egy ponton.

Bizonyítás. Vegyünk két felezővonal végeznek, csúcsai az A és C ABC háromszög. és jelöli a metszéspontja az O betű (ábra. 4).

Csökkenés a pont O merőlegesek OD. OE és OF oldalán a háromszög. Mivel az O pont fekszik a felezővonal a BAC szög. majd 1. Tétel az egyenlőség:

Mivel az O pont fekszik a felezővonal a szög ACB. majd 1. Tétel az egyenlőség:

Következésképpen az egyenlőség:

ahonnan segítségével Tétel 2 arra a következtetésre jutunk, hogy az O fekszik a felezővonal az ABC szög. Így mind a három háromszög felezővonal átmegy ugyanazon a ponton, szükség szerint

4. meghatározása beírható kör háromszög. Ez a kör, amely érinti az összes oldalán a háromszög (5. ábra). Ebben az esetben a háromszög nevezzük háromszög, köré írt kör.

Következmény. Mindenesetre háromszög kör írható, és csak az egyik. Központ beírható kör a háromszög a pont, ahol minden metszik bisectors egy háromszög.

A képlet a sugara beírható kör háromszög

Formula lehetővé teszi, hogy megtalálja a sugara beírható kör a háromszög. kényelmesen képviselte az alábbi táblázatban.