Egyenletek és egyenletrendszerek az első fokú - a döntés - oldal

Egyenletek és egyenletrendszerek az első fokú

Két szám, vagy bármilyen kifejezés csatlakozott a „=” formában egyenlőséget. Ha az adat egy szám vagy kifejezés minden érték a betűk azonos, akkor ez az egyenlőség úgynevezett identitás.

Például, amikor azt mondják, hogy minden érvényes:

A + 1 = 1 + a. Itt egyenlőség azonosság.

Az egyenlet az úgynevezett egyenlet tartalmazó ismeretlen számú betűkkel. Ezeket a leveleket nevezzük ismeretlen. Ismeretlen az egyenlet is több.

Például, az egyenletben 2x + y = 7x - 3 két ismeretlen x és y.

Az expressziós bal oldalán az egyenlet (2x + y) az úgynevezett bal része az egyenletnek, és a kifejezés az a jobb oldalán egyenlet (7x - 3), ez az úgynevezett jobb oldalán.

Az érték az ismeretlen, amelyekre az egyenlet válik identitás, az úgynevezett oldat vagy gyökere az egyenlet.

Például, ha a 3. egyenlet + 7 = 13, ahelyett, hogy egy ismeretlen számú 2 x helyettesítő kapjunk identitását. Következésképpen x értéke = 2 kielégíti ezt egyenlet száma 2, és egy oldat vagy egy gyökere ennek az egyenletnek.

Két egyenlet az úgynevezett egyenértékű (vagy azzal egyenértékű), ha az összes megoldást az első egyenlet megoldásai a második és fordítva, az összes megoldást a második egyenlet megoldások első. Ezzel egyenértékű az egyenlet is az egyenletek nem megoldás.

Például, egyenlet 2 - 5 = 11 és 6 + 7x = 62 ekvivalens, mivel ezek ugyanazt a root x = 8; egyenlet x + 2 = 5, és x + 2x + 7 = 2 ekvivalens, mert mindkét nincs megoldásokat.

Tulajdonságai megegyeznek az egyenlet

Mindkét oldalán az egyenlet, akkor add a kifejezés, hogy van értelme az összes lehetséges értékét az ismeretlen; a kapott egyenletet egyenértékűek az ezen.

Példa. 2. egyenlet - 1 = 7 rendelkezik egy gyökere x = 4. hozzáadása mindkét oldalán keresztül 5, megkapjuk az egyenlet 2x - 1 + 5 = 7 + 5 2 vagy + 4 = 12, amelynek ugyanaz a gyökere x = 4.

2. Ha mindkét oldalán az egyenlet ugyanaz tagjai, ők is hagyható.

Példa. Egyenlet 9h + 5x = 18 + 5x van egy gyökere x = 2 Feszültségcsökkentő mindkét részén 5x. kapjuk Eq = 9x 18 amelynek ugyanaz a gyökere x = 2.

3. bármely tagja az egyenlet átvihető egyik része az egyenletnek egy másik, változó jel.

Példa. Egyenlet 7x - 11 = 3-nak egy gyökere 2. Ha x = 11, hogy mozgatni, hogy a jobb oldalon az ellenkező megjelölés, megkapjuk az egyenletet 7x = 3 + 11, amely ugyanazt a megoldást az x = 2.

4. Mindkét fél az egyenlet lehet szorozni bármilyen kifejezés (szám), amelynek az értelemben, és nem nulla minden megengedett értékek az ismeretlen, a kapott egyenlet egyenértékűek az ezen.

Példa. 2. egyenlet - 15 = 10-3 van egy gyökere x = 5. szorzása mindkét oldalán 3, megkapjuk a 3. egyenlet (2 - 15) = 3 (10 - 3) vagy 6x - 45 = 30 - 9h. amelynek ugyanaz a gyökere x = 5.

5. Jelek valamennyi kifejezés az egyenletben lehet fordítani (ez egyenértékű megszorozzuk mindkét oldalról (-1)).

Példa. Egyenlet - 3 = 7 + - 8 szorzása mindkét oldalról (-1) formáját ölti 3 - 7 = 8. Az első és a második egyenlet egyedülálló gyökér x = 5.

6. Mindkét fél az egyenlet osztható azonos számú nem nulla (azaz, nem nulla).

Példa. Az egyenlet két gyökerek: és. Elosztjuk minden tagja 3, megkapjuk az egyenlet, amely egyenértékű az ezen, hiszen ugyanaz a két gyöke: és.

7. Az egyenlet, amelyben az együtthatók valamennyi vagy néhány tagjának tört számok, lehet helyébe a egyenértékű azzal egyenletek egész együtthatós úgy, hogy mindkét oldalán az egyenlet kell szorozni a legkisebb közös többszöröse a nevezők a frakcionált együtthatók.

Példa. Az egyenlet után szaporodását mindkét oldalán 14, formáját ölti:

. Könnyen belátható, hogy az első és utolsó egyenlet egy root x = 10.

Az egyenletek az első fokú

Az egyenlet egy ismeretlen, amely tágulás után zárójelben és hasonló kifejezések, formáját ölti, ahol a tetszőleges számú, X - ismeretlen, az úgynevezett első fokú egyenlet egy ismeretlen (vagy lineáris egyenlet egy ismeretlen).

Az egyenlet az első fokú egy ismeretlen mindig az egyik megoldás; lineáris egyenlet nem lehet oldatok (), vagy azok végtelen set ().

Példa. Oldjuk meg az egyenletet.

Határozat. Szorozzuk az összes feltételt az egyenletnek a legkisebb közös többszöröse a nevezők egyenlő 12.

Csökkentés után megkapjuk. Mi eltávolítja a zárójelben külön feltételek, amelyek az ismeretlen és abszolút értelemben:

Csoport együtt egy részét (balra) a feltételeket tartalmazó ismeretlen, és a másik oldalon (jobbra) - a szabad feltételek:

. Hasonló kifejezések :. Osztása mindkét oldalról (-22) a hozamokat x = 7.

Rendszerek két első fokú egyenletek két ismeretlen

Egyenlet a forma, amely az úgynevezett egyenlet az első fokú a két ismeretlen x és y. Ha úgy találja, a közös megoldás két vagy több egyenlet azt mondják, hogy ezek az egyenletek olyan rendszert alkot, rekord általában az egyik a másik felett, és egyesült egy merevítő, például.

Minden pár ismeretlen értékek egyidejűleg kielégíti mindkét egyenletben a rendszer, az úgynevezett megoldást a rendszer. Oldja meg a rendszer - ez azt jelenti, megtalálni az összes megoldást a rendszer, és azt mutatják, hogy ő nem rendelkezik velük. Két egyenletrendszer hívják egyenértékű (ekvivalens), ha az összes döntést melyek közül az egyik a megoldást a másik, és fordítva, minden más megoldás megoldások először.

Például, a megoldás a rendszer egy pár számok x = 4 és y = 3 A számok is az egyetlen megoldás, hogy a rendszer. Ennek következtében ezek a rendszerek egyenletek egyenértékűek.

Megoldási módjait, egyenletrendszerek

1. Eljárás algebrai mellett. Ha az együtthatók egy ismeretlen mindkét egyenletben egyenlő abszolút értékben, majd hozzáadjuk a két egyenletet (vagy egy kivonásával a másik), akkor lehetséges egy egyenletet egy ismeretlen. -Egyenlet határozza meg egy ismeretlen, és ebben az esetben ez az egyik egyenletrendszer egy második ismert.

Példák: az egyenletek megoldására rendszer: 1).

Itt az együtthatók abszolút értékben egyenlő, de ellentétes előjelű lesz. Mert egyismeretlenes egyenlet Terminusonként mi adjuk hozzá a rendszer:

Az így kapott érték x = 4 szubsztituált bármely rendszer egyenletet alkalmaztuk, mint például az első, és megtalálják a y értékét. .

Mi egyenlővé együtthatók x. Ehhez, megszorozzuk az első egyenlet 3, és a második a (- 2), és adjunk hozzá a kapott egyenletet.

2. A helyettesítési módszerrel. Egyenlet rendszer bármelyike ​​neizestnyh átnyúlnak a többit, majd helyettesíteni az értéke ismeretlen a fennmaradó egyenletek. Tekintsük ezt a módszert konkrét példát:

1) Oldjuk az egyenletrendszert. Fejezzük egyenlete az első az ismeretlenek, például x. helyett a kapott értéket x a második egyenletet kapjuk, hogy egy egyenlet egy ismeretlen:

Mi helyettesítheti y = 1 a kifejezés x. Kapjuk.

2). Ebben az esetben célszerű kifejezni a második egyenlet:

. A kapott értéket a helyettesítő az első egyenletben, és szerezzen egy egyenletet, egy ismeretlen x:

Mi helyettesíti az értéke x = 5 a kifejezésben y. Kapjuk.

3) Oldjuk az egyenletrendszert. Az első egyenlet találunk. Behelyettesítve ezt az értéket a második egyenletbe, megkapjuk az egyenlet egy ismeretlen y.

Mi helyettesítheti y = 5 a kifejezés x. megkapjuk

3. A helyettesítő módszer. A következő rendszer két lineáris egyenletek két ismeretlen járhat bizonyos nemlineáris rendszerek. Ezt meg lehet tenni helyett.

Példa. Oldja meg a rendszer. .

Átírható egy olyan rendszer :. Mi helyettesíti az ismeretlen, amivel, megkapjuk a lineáris rendszer. Az első egyenletből kifejezzük az ismeretlen. Helyettesítsük az értéket a második egyenletbe, megkapjuk az egyenlet egy ismeretlen:

. Behelyettesítve a értéke v a kifejezés t. Kapjuk. Kapcsolatok találunk.

A tanulmány a rendszer

Vizsgáljuk meg, hogyan megoldásokat lehet az egyenletrendszert, ahol - együtthatók az ismeretlenek - a szabad feltételeket.

A) Ha a rendszer egy egyedi megoldás.

B) Ha a rendszer nincs megoldásokat.

B) Ha a rendszerben van egy végtelen számú megoldást.

Példa. . Ebben a rendszerben, az arány a együtthatók azonos ismeretlenek nem egyenlő (), akkor a rendszer egy egyedi megoldást.

Példa. . A rendszerben, vagy a csökkentés után, következésképpen, a rendszernek nincs megoldásokat.

Példa. . Ebben a rendszerben, vagy vágás után, az azt jelenti, hogy a rendszer végtelen sok megoldást.

Kapcsolódó dokumentumok:

9,10,11 osztályok. Az első rész a tanfolyam (hallgatói 17. Ismételje meg tulajdonságainak mértékét; akció valós számok c / p és irracionális egyenlet sistemyuravneny ismételje meg a tanulókkal módszerek irracionális megoldások egyenletek és / r .....

sistemauravneny sistemauravneny Dana Dana Dana sistemauravneny sistemauravneny Dana sistemauravneny regresszió. Ennek eredményeként a határozat: Dana sistemauravneny. így egy első részét. Következő. korlátozás mértékétől csúcsok? Amikor.

forgatott mértékben. Racionális kifejezés. Rational egyenlet. A megoldás a racionális egyenletek (az első előadás). A mértéke c. éppen ellenkezőleg, hogy meghatározza a számát gyökerei az egyenlet és sistemyuravneny. egyszerűsített funkcionális kifejezés, hogy megtalálják.

egyenlet egyenértékű egyenlet (2). Ezután 2x + 3y = 7 (1) 9 x-3y = 48 (3) uravneniyasistemy rendszer kezdeti lesz egyenértékű az egyenlet. pont. Definíció. Uravneniepervoystepeni az x és y, azaz a egyenlet formájában ax + by + C = 0.