Hogyan lehet megoldani trigonometrikus egyenletek

Trigonometrikus egyenlettel tartalmaz egy vagy több a trigonometrikus függvények, a változó „x” (vagy bármilyen más változó). Megoldás trigonometrikus egyenletek - az, hogy megtaláljuk egy ilyen „x” értéket, amely kielégíti a funkció (k), és az egyenlet teljesen.

• Megoldása trigonometrikus egyenletek fokokban vagy radiánban. példák:

X = π / 3; X = 5π / 6; X = 3π / 2; X = 45 fok; X = 37,12 fok; X = 178,37 fok.

• Megjegyzés: Az értékek a trigonometrikus függvények a szög, radiánban, és a szögek, fokban, egyenlő. Trigonometrikus kör sugara egyenlő eggyel, leírására használják a trigonometrikus függvények, valamint, hogy ellenőrizze a helyességét a határozat alapvető trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek.
• Példák trigonometrikus egyenlet:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tg x + CTG x = 1.732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Trigonometrikus sugarú kör egyenlő egy (az egység kör).
   • Egy kör sugara egyenlő eggyel, és a középpontja O. Az egység középpontja 4 leírja az alapvető trigonometrikus funkciója a változó „x”, ahol „x” - a mért szög az X tengelytől pozitív irányban az óramutató járásával ellentétes.
   • Ha az „x” - néhány szöget a készülék körben, akkor:
   • OAH vízszintes tengelyen az F (x) = cos x.
   • Ovy függőleges tengely mutatja a függvény F (x) = sin x.
   • A függőleges tengely a AT F (x) = tg x.
   • BU A vízszintes tengelyen az F (x) = x CTG.

• Az egység kör is használják megoldásában alapvető trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek (benne tárgyalja a különböző rendelkezései az „x”).

lépések szerkesztése

Fogalma oldatok trigonometrikus egyenletek.

• Hogy oldja meg a trigonometrikus egyenletek átalakítani, hogy egy vagy több alapvető trigonometrikus egyenletek. Megoldás trigonometrikus egyenlet végül jön le, hogy a döntés a négy alapvető trigonometrikus egyenletek.

Megoldás az alapvető trigonometrikus egyenletek.

• Jelenleg 4 fajta alap trigonometrikus egyenlet:
• sin x = A; cos x = a
• tg x = a; CTG x = a
• Megoldás alap trigonometrikus egyenlet magában véve a különböző álláspontok „x” az egység kört, és átváltási táblázat segítségével (vagy számológép).
• 1. példa sin x = 0.866. Átváltási táblázat segítségével (vagy számológépet), megkapod a választ: x = π / 3. Az egység kör ad egy választ: 2π / 3. Emlékszel a trigonometrikus függvények periodikus, azaz értékük ismételni. Például, a periodicitás sin x és cos X egyenlő 2πn, és a frekvencia és a tg x CTG x = πn. Ezért, feljegyeztük a reakciókat a következőképpen:
• x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
• 2. példa cos x = -1/2. Átváltási táblázat segítségével (vagy számológépet), megkapod a választ: x = 2π / 3. Az egység kör ad egy választ: -2π / 3.
• x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
• 3. példa tg (x - π / 4) = 0.
• Válasz: X = π / 4 + πn.
• 4. példa CTG 2x = 1.732.
• Válasz: X = π / 12 + πn.

Conversion használt megoldásában trigonometrikus egyenletek.

• Konvertálásához trigonometrikus egyenletek segítségével algebrai transzformációs (faktoring, így a homogén feltételek, stb) és trigonometrikus azonosságok.
• 5. példa A trigonometrikus azonosságok, egyenlet sin x + sin 2x + sin 3x = 0 átalakul az egyenlet 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Tehát, szükség van, hogy megoldja a következő alapvető trigonometrikus egyenlettel: cos x = 0; sin (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.

Megtaláljuk szögek az ismert függvények értékét.

• Mielőtt megvizsgálnánk a megoldási módjainak trigonometrikus egyenletek meg kell tanulni, hogyan kell megtalálni a sarkokban az ismert függvények értékét. Ez úgy valósítható meg, átváltási táblázat segítségével vagy számológép.
• Példa: cos x = 0,732. A kalkulátor válaszolni fog x = 42,95 fok. Az egység kör ad további szögek, ami szintén egyenlő a koszinusza 0,732.

Tedd a megoldást az egység kör.

• Akkor elhalasztja a megoldás a trigonometrikus egyenlet az egység kör. Solutions trigonometrikus egyenlet a készülék körben a csúcsai szabályos sokszög.
• Példa: oldat X = π / 3 + πn / 2 az egységen kör a csúcsai egy négyzet.
• Példa: oldat X = π / 4 + πn / 3 a készülék kör a csúcsai egy szabályos hatszög.

Megoldási módjait, trigonometrikus egyenletek.

• Ha az adott trigonometrikus egyenlet tartalmaz egyetlen trigonometrikus funkció, oldja meg ezt az egyenletet, mint az alap, trigonometrikus egyenlet. Ha ez az egyenlet magában foglalja két vagy több trigonometrikus függvény, 2 módszere van ennek a problémának a egyenletek (lehetőségeitől függően átalakulási).
  • 1. módszer.
• Konvertálása az egyenletben az egyenlet a következő formában: f (x) * g (x) * h (x) = 0, ahol f (x), g (x), h (x) - alap trigonometrikus egyenlet.
• 6. példa 2cos x + sin 2x = 0. (0
• Határozat. Használata a kettős szög képletű sin 2x = 2 * sin x * cos x, cserélje sin 2x.
• 2sos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Most választhat két alapvető trigonometrikus egyenlettel: cos x = 0 és (sin x + 1) = 0.
• 7. példa cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0
• Megoldás: A trigonometrikus identitásokat, átalakítani ezt az egyenletet az egyenlet a következő formában: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Most választhat két alapvető trigonometrikus egyenlettel: cos 2x = 0, és (2cos x + 1) = 0.
• 8. példa sin x - sin 3x = cos 2x. (0
• Megoldás: A trigonometrikus identitásokat, átalakítani ezt az egyenletet az egyenlet a következő formában: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Most választhat két alapvető trigonometrikus egyenlettel: cos 2x = 0, és (2sin x + 1) = 0.
  • 2. módszer.
• Átalakítás trigonometrikus egyenlet egyenlet alapján határozható meg, amelyek csak egy trigonometrikus függvény. Ezután helyezzük a trigonometrikus függvény valamilyen ismeretlen, például t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; TG (x / 2) = t, és így tovább).
• 9. példa 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0
• Határozat. Ebben az egyenletben, cserélje (cos ^ 2 x) által (1 - sin ^ 2 x) (a azonosság). A transzformált egyenlet a következő:
• 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin X - 7 = 0. Cserélje sin x a t. Most egyenlet formájában: 5T ^ 2 - 4t - 9 = 0. Ez egy másodfokú egyenlet két gyöke: t1 = -1 és t2 = 9/5. T2 A második gyökér terület nem felel meg a függvény értékek (-1
• 10. példa tg x + 2 2 tg ^ X = CTG x + 2
• Határozat. Cserélje tg x által t. Írja át az eredeti egyenlet a következő formában: (2t + 1) (T ^ 2 - 1) = 0. Most találni t, majd kap X t = tg x.

Különleges trigonometrikus egyenletek.

• Van néhány speciális trigonometrikus egyenletek, amelyek bizonyos reformokat. példák:
• A * sin x + b * cos X = C; egy (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = C;
• A * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0

Periodicitás trigonometrikus függvények.

• Mint már korábban említettük, az összes trigonometrikus függvények periodikus, azaz értékük megismételjük egy bizonyos idő elteltével. példák:
  • Periódus f (x) = sin x egyenlő 2π.
  • Periódus f (x) = tg x egyenlő tc.
  • Periódus f (x) = sin 2x egyenlő a tc.
  • Periódus f (x) = cos (x / 2) egyenlő 4p.
• Ha a meghatározott időtartam a problémát, az A értékét „x” ebben az időszakban.
• Megjegyzés: A megoldás trigonometrikus egyenlet - nem könnyű feladat, ami gyakran vezet a hibákat. Ezért gondosan ellenőrizze a válaszokat. Használhatja a grafikus számológép építésére egy grafikonon az egyenlet R (x) = 0. Az ilyen esetekben, oldatokat képviseletében a decimális frakciókat (azaz, rc helyébe 3.14).