trigonometrikus egyenletek

Trigonometrikus egyenlet - a téma nem a legkönnyebb. Fájdalmasan, ezek eltérő), például olyan .:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin (5x + π / 4) = CTG (2x- π / 3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

És így tovább.

De ezek (és minden más) trigonometrikus szörnyek van két közös és kötelező funkciót. Első - nem hinnéd - egyenletek jelen trigonometrikus függvények) Másodszor, mind a kifejezések x belsejében a legtöbb ilyen funkciók .. És csak ott! Ha X jelenik meg valahol a külső, például sin2x + 3x = 3, ez lesz a vegyes típusú egyenlet. Az ilyen egyenletek szükség egyedi megközelítés. Itt nem vesszük figyelembe.

mi is nem foglalkozik a gonosz az egyenlet ebben a leckében.) Itt fogunk foglalkozni a legalapvetőbb trigonometrikus egyenletek. Miért? Igen, mert a döntés bármilyen trigonometrikus egyenlet két szakaszból áll. Az első fázisban a gonosz egyenletet sokféle transzformációk csökken az egyszerű. A második -, hogy megoldja ezt a nagyon egyszerű egyenlet. Ellenkező esetben - egyáltalán nem.

Tehát, ha a második szakaszban van egy probléma - az első szakaszban a különleges nincs értelme).

Hogy elemi trigonometrikus egyenletek?

Példák az ilyen egyenletek:

És így tovább. Érted? A bal oldalon - a tiszta (nélkül együtthatók) szinusz (koszinusz, tangens, kotangens), jobbra - egy bizonyos számot. Általánosságban elmondható, hogy meg tudjuk írni egyszerű trigonometrikus egyenletek, mint ez:

Mellesleg, a függvény belsejében nem lehet tiszta X, és bármilyen expressziós, mint például:

és hasonlók. Ez teszi az élet nehéz, de ez nem befolyásolja a megoldási módja trigonometrikus egyenletek.

Hogyan lehet megoldani trigonometrikus egyenletek?

Trigonometrikus egyenlet megoldható két módon. Az első út: a logika és trigonometrikus kör. Így nézzük meg itt. A második út - memória használatával és képletek - tárgyalt a következő lecke.

Az első út a tiszta, megbízható, és nehéz elfelejteni.) Ez jó megoldások és trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek, és mindenféle ravasz szokatlan példát. Logic erősebb memória!)

Mi megoldjuk egyenletek segítségével trigonometrikus kört.

Tartalmazza az elemi logika és a képesség, hogy a trigonometrikus kört. Azt nem tudom, hogyan. Azonban. Nehéz ahogy kell trigonometria. ) De ez nem számít. Vessen egy pillantást a tanulságokat „A trigonometrikus kör. Mi ez?” és a „Visszaszámlálás szögeket a trigonometrikus kört.” Minden egyszerű. Ellentétben tankönyvek. )

Ó, tudod. És még elsajátította a „Gyakorlati munka trigonometrikus kört.” Gratulálok. Ez a téma lesz akkor szoros és egyértelmű.) Mi különösen kellemes, trigonometrikus kör nem számít, milyen egyenlet dönt. Szinusz, koszinusz, tangens, kotangens - ez mind egy. Az elv egy döntést.

Tehát bármilyen elemi trigonometrikus egyenlet. Legalábbis ez:

Meg kell találnunk a X. Beszéd az emberi nyelv, hogy megtalálják a szög (X), amelynek a koszinusza 0.5.

Mint azt már korábban használta a kör? Felhívtuk rá a sarokban. Fokban vagy radiánban. És azonnal láttuk trigonometrikus függvények a szög. Most az ellenkezőjét. Rajzolj egy kört a koszinusz 0,5, és azonnal látni a szög. Csak meg kell írni a választ.) Igen, igen!

Rajzolj egy kört, és jelölje meg a koszinusza 0.5. A koszinusz a tengely, természetesen. Íme:

Most felhívni szögben, hogy megadja nekünk a koszinusz. Vigyük a kurzort a kép (vagy képeket, érintse meg a tabletta), és látni fogja ezt ugyanabban a szögben x.

A koszinusza a szög egyenlő 0,5?

Ha tudja, hogy a koszinusz asztal (és tisztában kell lennie), akkor meg nyugodtan írjon:

Néhány szkeptikus hmyknet, igen. Mint, ha a kör kerítés költsége, mikor és így minden világos. Akkor, persze, szegély. ) De az a tény, hogy ez - a rossz válasz. Inkább, elégtelen. Szakértők kör észre, hogy még mindig van egy csomó szögek, amely szintén ad a koszinusza 0.5.

Ha bekapcsolja a mobil oldalán OA egy teljes fordulatot. A pont beleesik a kiinduló helyzetbe. Mivel a koszinusz egyenlő 0,5. Ie szög változása 360 ° -os vagy π 2 radián, és a koszinusz - nincs. Egy új szög 60 ° + 360 ° = 420 ° is lehet megoldás az egyenletnek, mert

Az ilyen teljes fordulattal lehet csavarozni végtelen. És ezek az új sarkából megoldásaink trigonometrikus egyenlet. És mindegyik kell valahogy írva a válasz. Minden. Ellenkező esetben a határozat nem tekinthető, igen. )

A matematika képes erre egyszerűen és elegánsan. A rövid válasz, hogy felvegyenek egy végtelen számú megoldást. Itt van, hogyan néz ki a mi egyenlet:

Megfejteni. Még levelet érdemben szebb, mint a tompa felhívni néhány rejtélyes bukovki, ugye?)

π / 3 - ez a szög, hogy láttuk a kört, és határozza meg a koszinusz asztalra.

2 π - ez egy teljes fordulatot radiánban.

n - a szám a teljes, azaz a mint a sebesség. Magától értetődik, hogy n értéke 0, ± 1, ± 2, ± 3. és így tovább. Amint gyors-:

Ez a bejegyzés azt jelenti, hogy bármilyen n egész szám. Legalább 3, legalább 0, legalább 55. Mit akar. Ha helyettesíteni ezt a számot a válasz rekord, akkor kap egy bizonyos szögben, ami biztos, hogy egy szigorú döntést a mi egyenlet.)

Vagy más szóval, x = π / 3 - az egyetlen gyökere végtelen halmaz. Ahhoz, hogy az összes többi gyökerek, elég ahhoz, hogy tc / 3 hozzá tetszőleges számú teljes fordulattal (n) radiánban. Ie 2 π n radián.

Mindent? Nem. Azt különösen élvezni szakaszon. Emlékezni jobb.) Mi csak van része a választ a egyenletet. Ez az első része a megoldásnak, írok itt van, hogy:

x1 - nem egy gyökér, ez egy sorozat gyökerei írt tömör formában.

De vannak még sarkok, ami szintén ad koszinusza 0.5!

Térjünk vissza a képet, amelyen írni a válaszokat. Itt is van:

Mi irányítja az egeret a képre és nézd másik oldalról, ami szintén ad a koszinusza 0.5. Mit gondol, mi ez? Háromszögek megegyeznek. Igen! Ő egyenlő szög x. csak elhalasztják a negatív irányba. Ez a szög -x. De az X-már számítani. π / 3 vagy 60 °. Tehát, nyugodtan írd be:

És, persze, hozzá a szögek, amelyek révén szerzett teljes sebességgel:

Most mindent.) A trigonometrikus kör, láttuk (ki tudja, természetesen)) a sarkok, így a koszinusza 0.5. És ezek a szög van rögzítve egy rövid matematikai formában. Válaszul kapott két végtelen sorozatát gyökerek:

Ez a helyes válasz.

Remélem, hogy az általános elv a megoldás trigonometrikus egyenletek segítségével számos fogalmak. Megjegyzés a kör koszinusz (szinusz, tangens, kotangens) egy előre meghatározott egyenlet felhívni szögek megfelelő, és rögzíti a választ. Persze, meg kell, hogy kitaláljuk, mit láttunk a sarkokban a kör. Néha ez nem annyira nyilvánvaló. Nos, azt mondta, hogy a logika van szükség itt.)

Például Nézzük a másik trigonometrikus egyenlet:

Felhívjuk figyelmét, hogy a szám a 0.5 - ez nem csak az egyenletek száma), csak írd sokkal kényelmesebb, mint a gyökerek és frakciói !.

Dolgozunk az általános elvet. Rajzolj egy kört megjelölés (a szinusz tengely, természetesen!) 0.5. Rajz, ha minden szögből megfelelő szinusz. Itt kap a következő kép:

Először azt vizsgáltuk, egymással szöget bezáró x az első negyedben. Emlékezés sine asztal és nagyságának meghatározásához, ez a szög. Ez elég egyszerű:

Emlékezés a teljes sebességgel, és tiszta lelkiismerettel, írunk az első szettet a válaszok:

A fél munkát. És most meg kell határozni a második sarkon. Ez több, mint ravasz koszinuszok, igen. De a logika fogja megmenteni minket! Hogyan lehet meghatározni a második szög szempontjából x? Igen, egyszerűen! Háromszögek a kép azonos, és a piros X szög egyenlő a szög x. Csak ő számít a szög π negatív irányba. Ezért red.) És meg kell válaszolni a szöget számolni rendesen, a pozitív fele-OX, azaz a szög 0 fok.

Lebeg a kép fölé, és lát mindent. Az első kanyarban eltávolítottuk, hogy ne bonyolítsuk a képet. Mi érdekli szög (festett zöld) lesz:

X tudjuk a tc / 6. Következésképpen, a második szög:

Ismét emlékeztetik hozzáadásával fordulatot, és levelet második sorozat válaszok:

Ez minden. Teljes válasz két sorozat gyökerei:

Egyenletet érintő és kotangensét könnyen megoldható az azonos általános elvét megoldására trigonometrikus egyenletek. Kivéve persze, tudja, hogyan kell felhívni a érintő és kotangensét a trigonometrikus kör.

A fenti példában, én egy táblázatot értékű szinusz és koszinusz: 0,5. Ie az egyik az értékeket, amelyeket ismernie kell a diák. És most kiterjesztjük képességek minden más érték. Dönthetnek arról, hogy dönteni!)

Nos, hadd el kell döntenie, itt van egy trigonometrikus egyenlet:

Ez koszinuszértékeket az összefoglaló táblázatokat is. Hidegen hagyja figyelmen kívül ezt a szörnyű tényt. Rajzolj egy kört nyomot a koszinusz tengely 2/3 és felhívni a megfelelő szögben. Itt kap a következő kép.

Ahhoz, hogy megértsük, hogy kezdődik, és a szög az első negyedévben. Ahhoz, hogy tudjuk, mi az X, a válasz az lenne egyszer rögzíteni! Nem tudjuk. Kudarc. Nyugodt! A matematika a baj, ne dobja! Ő találta ki a Arkuszkoszinusz az eseményről. Nem tudom? Hiába. Tudja meg, mi van az ív szinusz, Arkuszkoszinusz? Mi az arkusz tangens, inverz kotangens? Ez sokkal egyszerűbb, mint gondolná. Ez a kapcsolat nem trükkös varázslatok a „inverz trigonometrikus függvények” nincs. A felesleges van egy adott témáról.

Ha tudja, hogy elég azt mondani magadnak, „X - az a szög, amelynek a koszinusza egyenlő 2/3”. Azonnal. pusztán definíció inverz koszinusz tudjuk írni:

Emlékezés a további forgalom és nyugodtan írni az első sor a gyökerek trigonometrikus egyenlet:

Szinte automatikusan rögzíteni és egy második sorozat gyökerek, hogy a második szög. Minden ugyanaz, csak az X (ARccOS 2/3) egy mínusz:

És mindent! Ez a helyes válasz. Még egyszerűbb, mint a táblázatba foglalt értékek. Semmit nem kell emlékezni.) By the way, a legfigyelmesebb veszi észre, hogy a kép, a döntést a Arkuszkoszinusz semmi lényegében nem különbözik a képeket cosx = 0,5 az egyenlet.

Ez így van! Az általános elv az, hogy az általános és a! Én kifejezetten felhívta két majdnem azonos képet. A kör megmutatja nekünk a szög x annak koszinusza. Táblázat a koszinusz-e vagy sem - a kör nem ismert. Mi ez a szög, π / 3, vagy a Arkuszkoszinusz egy -, hogy mi döntünk.

A szinusz ugyanazt a dalt. Például:

Re-rajzoljon egy kört, tudomásul vesszük a szinusz egyenlő 1/3, rajzolni szögek. Kiderült, hogy egy ilyen kép:

És a kép majdnem ugyanaz megint, mint az egyenlet sinx = 0,5. Ismét kezdve a sarokban az első negyedben. Mi X, ha ez egyenlő a szinusz 1/3. Nem kérdés!

Itt és kész az első gyökerei a csomagolás:

Megvizsgáltuk a második szög. A példában táblázatos érték egyenlő 0,5:

Tehát itt ez pontosan ugyanaz! Csak egy újabb X ARCSIN 1/3. Tehát mi. Egyszerűen felveheti a második csomag a gyökerek:

Ez teljesen a helyes válasz. Bár ez nem ismerős. De nyilvánvaló, remélem.)

Ez megoldotta trigonometrikus egyenletek segítségével a kör. Ez az út világos és érthető. Ő volt az, aki megmenti a trigonometrikus egyenletek kiválasztására a gyökerek egy előre meghatározott intervallumban trigonometrikus egyenlőtlenségek - általában megoldható szinte mindig körül. Röviden, olyan munkahelyek, amelyek valamivel nehezebb szabvány.

Mi alkalmazni ezt a tudást a gyakorlatban?)

Problémák trigonometrikus egyenlet:

Először is, egyszerűen, közvetlenül ezt a leckét.

Ha lehetne csinálni - szívből gratulálok! Ilyen poggyász biztonságosan élvezhetik a gyors beállítás megoldására trigonometrikus egyenlet - a képlet. Ők (a formula), csak ne tegye) Sőt, még egy kis magyarázat -. És képesek megoldani trigonometrikus egyenlőtlenségek és más bonyolult feladatok a „C”.

Előző oldal: Mi az ív szinusz, Arkuszkoszinusz? Mi az arkusz tangens, inverz kotangens?

Következő: megoldása trigonometrikus egyenletek.

Ha tetszik ez a hely.

By the way, még mindig van egy pár érdekes helyszínek az Ön számára.)

Itt lehet gyakorolni megoldásában példákat és a szinten. Tesztelés azonnali ellenőrzést. Tanulás - érdeklődéssel!)

És itt ismerkedhetsz funkciók és származékaik.